Bei der Beschreibung von Quantenphänomenen hat die Theorie das Experiment bisher übertroffen, so dass nicht unterschieden werden kann, wo die Physik endet und die Mathematik in diesem Bereich beginnt. Der Korrespondent der RIA Novosti sprach mit den Teilnehmern der internationalen wissenschaftlichen Schule des Joint Institute for Nuclear Research (JINR) in Dubna darüber, welche Art von Mathematik für die Quantenphysik benötigt wird und welche Probleme von Vertretern der beiden strengsten Wissenschaften gelöst werden.
Die Schule "Statistische Summen und automorphe Formen" zog etwa achtzig junge Forscher und Lehrer aus aller Welt an, darunter Hermann Nicolai, Direktor des Albert-Einstein-Instituts (Deutschland).
Die Organisatoren des Labors für Spiegelsymmetrie und automorphe Formen der Fakultät für Mathematik der Hochschule für Wirtschaftswissenschaften betonen, dass führende wissenschaftliche Schulen in Russland aktiv geworden sind und in vielen Bereichen die Avantgarde der Forschung darstellen.
Der Erfolg unserer Mathematiker hängt eng mit den Leistungen theoretischer Physiker zusammen, die nach neuen Erscheinungsformen der Quantenphysik suchen. Dies ist buchstäblich die andere Welt, deren Existenz außerhalb der Realität von Newton und Einstein angenommen wird. Um konsequent über die Gesetze der klassischen Physik hinaus zu beschreiben, haben Wissenschaftler in den 1970er Jahren die Stringtheorie erfunden. Sie behauptet, dass das Universum nicht anhand von Punktteilchen beurteilt werden kann, sondern mit Hilfe von Quantenketten.
Die jedem Schüler vertrauten Begriffe „Punkt“, „Linie“, „Ebene“verschwimmen in der Quantenwelt, die Grenzen verschwinden und dieselbe Stringtheorie erhält eine sehr komplexe interne Struktur. Um solche ungewöhnlichen Objekte zu verstehen, ist etwas Besonderes erforderlich. Spiegelsymmetrie, die Anfang der neunziger Jahre von Streichphysikern vorgeschlagen wurde. Dies ist ein Paradebeispiel dafür, wie aus der physischen Intuition neue mathematische Strukturen entstehen.
In der gewöhnlichen Welt tritt eine solche Symmetrie zum Beispiel auf, wenn wir unser Spiegelbild in einem Spiegel sehen. In der Quantenwelt ist dies eine unermesslich komplexere, abstrakte Sichtweise, die erklärt, wie zwei unterschiedlich aussehende Theorien tatsächlich ein System von Elementarteilchen auf verschiedenen Interaktionsebenen in mehrdimensionaler Raumzeit beschreiben.
Das mathematische Programm zur Untersuchung des von Physikern entdeckten Effekts - die Hypothese der homologischen Spiegelsymmetrie - wurde 1994 vom Mathematiker Maxim Kontsevich vorgeschlagen. Vier Jahre später gewann er den Fields Prize, den Nobelpreis für die mathematische Welt.
In Russland wurde die amerikanische Mathematikerin bulgarischer Herkunft Lyudmila Katsarkova, Absolventin der Fakultät für Mechanik und Mathematik der Staatlichen Universität Lomonossow Moskau, eingeladen, die Richtung der Spiegelsymmetrie zu entwickeln. Sein Projekt und die Schaffung eines Labors an der HSE Ende 2016 wurden von der russischen Regierung im Rahmen des Mega-Grant-Programms unterstützt. Als einer der Mitautoren von Kontsevich zog Katsarkov ihn zur Arbeit an.
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Von der Intuition zum Beweis
Die meisten Dozenten der Schule arbeiten in diesem dynamischen Bereich, der sich auf Raum-Zeit-Geometrie und Dual-Feld- und Stringtheorien bezieht, und helfen direkt oder indirekt dabei, das Rätsel der Quantenwelt zu lösen. Eines der Hauptforschungsobjekte für sie sind sehr große Systeme, die eine unendliche Anzahl von Partikeln enthalten. Um diese Systeme im thermodynamischen Gleichgewicht zu beschreiben, berechnen Physiker Größen, die als Partitionsfunktionen bezeichnet werden.
Die Spiegelsymmetrie von Mannigfaltigkeiten, Nekrasovs Instanton-Partitionsfunktionen und andere Konzepte, die in die Stringtheorie und die Quantenfeldtheorie eingeführt wurden, erwiesen sich als völlig neue Objekte für Mathematiker, die sie mit Interesse zu analysieren begannen. Es stellte sich zum Beispiel heraus, dass es zweckmäßig ist, Zustandssummen mit automorphen Formen zu beschreiben - eine spezielle Klasse von Funktionen, die in der Zahlentheorie seit langem gut untersucht ist.
Die jedem Schüler vertrauten Begriffe „Punkt“, „Linie“, „Ebene“verschwimmen in der Quantenwelt, die Grenzen verschwinden und dieselbe Stringtheorie erhält eine sehr komplexe interne Struktur. Um solche ungewöhnlichen Objekte zu verstehen, ist etwas Besonderes erforderlich. Spiegelsymmetrie, die Anfang der neunziger Jahre von Streichphysikern vorgeschlagen wurde. Dies ist ein Paradebeispiel dafür, wie aus der physischen Intuition neue mathematische Strukturen entstehen.
In der gewöhnlichen Welt tritt eine solche Symmetrie zum Beispiel auf, wenn wir unser Spiegelbild in einem Spiegel sehen. In der Quantenwelt ist dies eine unermesslich komplexere, abstrakte Sichtweise, die erklärt, wie zwei unterschiedlich aussehende Theorien tatsächlich ein System von Elementarteilchen auf verschiedenen Interaktionsebenen in mehrdimensionaler Raumzeit beschreiben.
Das mathematische Programm zur Untersuchung des von Physikern entdeckten Effekts - die Hypothese der homologischen Spiegelsymmetrie - wurde 1994 vom Mathematiker Maxim Kontsevich vorgeschlagen. Vier Jahre später gewann er den Fields Prize, den Nobelpreis für die mathematische Welt.
In Russland wurde die amerikanische Mathematikerin bulgarischer Herkunft Lyudmila Katsarkova, Absolventin der Fakultät für Mechanik und Mathematik der Staatlichen Universität Lomonossow Moskau, eingeladen, die Richtung der Spiegelsymmetrie zu entwickeln. Sein Projekt und die Schaffung eines Labors an der HSE Ende 2016 wurden von der russischen Regierung im Rahmen des Mega-Grant-Programms unterstützt. Als einer der Mitautoren von Kontsevich zog Katsarkov ihn zur Arbeit an.
Von der Intuition zum Beweis
Die meisten Dozenten der Schule arbeiten in diesem dynamischen Bereich, der sich auf Raum-Zeit-Geometrie und Dual-Feld- und Stringtheorien bezieht, und helfen direkt oder indirekt dabei, das Rätsel der Quantenwelt zu lösen. Eines der Hauptforschungsobjekte für sie sind sehr große Systeme, die eine unendliche Anzahl von Partikeln enthalten. Um diese Systeme im thermodynamischen Gleichgewicht zu beschreiben, berechnen Physiker Größen, die als Partitionsfunktionen bezeichnet werden.
Die Spiegelsymmetrie von Mannigfaltigkeiten, Nekrasovs Instanton-Partitionsfunktionen und andere Konzepte, die in die Stringtheorie und die Quantenfeldtheorie eingeführt wurden, erwiesen sich als völlig neue Objekte für Mathematiker, die sie mit Interesse zu analysieren begannen. Es stellte sich zum Beispiel heraus, dass es zweckmäßig ist, Zustandssummen mit automorphen Formen zu beschreiben - eine spezielle Klasse von Funktionen, die in der Zahlentheorie seit langem gut untersucht ist.
Die Idee des Künstlers von Spiegelsymmetrie. Illustration von RIA Novosti. Alina Polyanina
Es gibt viele Beispiele für den gegenteiligen Effekt der Mathematik auf die theoretische Physik.
„Ich habe an der Erstellung einer Theorie für eine neue Klasse von Sonderfunktionen gearbeitet, die als elliptische hypergeometrische Integrale bezeichnet werden. Dann stellte sich heraus, dass diese Objekte von Physikern als statistische Summe eines speziellen Typs nachgefragt werden “, sagt der mathematische Physiker Vyacheslav Spiridonov vom Labor für Theoretische Physik am JINR.
Spiridonov führte seine Integrale im Jahr 2000 ein, und acht Jahre später kamen zwei Physiker aus Cambridge zu denselben Integralen und berechneten superkonforme Indizes (oder supersymmetrische Partitionsfunktionen) im Rahmen von Seibergs Dualitätstheorie.
„Superkonforme Indizes sind ein sehr praktisches Konzept zur Beschreibung elektromagnetischer Dualitäten, das das Phänomen verallgemeinert, das sich zuerst in Maxwells Gleichungen manifestierte (das Vorhandensein sich gegenseitig ergänzender physikalischer Eigenschaften in einem Phänomen. - Hrsg.). Mit Hilfe der konstruierten mathematischen Theorie haben wir neue Dualitäten vorhergesagt, die die Physiker übersehen haben. Physiker drücken Ideen aus, erhalten vorläufige Ergebnisse, und Mathematiker erstellen eine absolute, systematische Analyse: Sie geben Definitionen, formulieren Theoreme, beweisen, ohne Unterbrechungen in der Beschreibung des Phänomens zuzulassen. Wie viele gibt es noch? Was haben die Physiker vermisst? Mathematiker beantworten diese Fragen. Physiker interessieren sich für die Vielzahl von Objekten, die von Mathematikern klassifiziert werden “, sagt Spiridonov.
Auf der Suche nach Quantengravitation und Supersymmetrie
„Ich möchte die Natur der Quantengravitation und die Physik der Schwarzen Löcher verstehen, wenn die Stringtheorie zur Beschreibung der Natur richtig ist. Das ist meine Motivation. Dazu müssen Sie physikalische Größen berechnen und mit Experimenten vergleichen. Tatsache ist jedoch, dass dies sehr komplexe Berechnungen sind und es viele mathematische Probleme gibt “, sagt Pierre Vanhove vom Institut für Theoretische Physik (Saclay, Frankreich), einem assoziierten Mitglied des Labors an der HSE.
Ein Physiker, der verstehen will, was vor dem Urknall passiert ist, um die Konfiguration eines Schwarzen Lochs zu untersuchen, ist gezwungen, sich mit dem Raum zu befassen, der zu einem Punkt komprimiert wird, wodurch sich seine Geometrie stark ändert. Die Relativitätstheorie kann diese Objekte sowie andere nicht-klassische Phänomene - dunkle Materie, dunkle Energie - nicht erklären. Wissenschaftler beurteilen ihre Existenz anhand indirekter Zeichen, aber es war noch nicht möglich, die Manifestationen der neuen Physik in einem Experiment zu fixieren, einschließlich Zeichen der Quantengravitation - eine Theorie, die allgemeine Relativitätstheorie und Quantenmechanik kombinieren würde. Der sowjetische Physiker Matvey Bronstein stand Mitte der 1930er Jahre an seinen Ursprüngen.
Übrigens haben Wissenschaftler erst 2015 in einem Experiment klassische (aus Sicht von Einsteins Theorie) Gravitationswellen aufgezeichnet. Dazu mussten sie den LIGO-Detektor deutlich aufrüsten. Um ein Gefühl für die Quantennatur der Schwerkraft zu bekommen, benötigen Sie eine noch höhere Instrumentengenauigkeit, die auf dem gegenwärtigen Stand der Technologieentwicklung nicht erreichbar ist.
„Derzeit bieten LIGO-Messungen keinen Zugang zu dieser neuen Physik. Es braucht Zeit, um dorthin zu gelangen. Wahrscheinlich zeitaufwändig. Wir müssen neue Methoden erfinden, mathematische Werkzeuge. Früher standen uns nur Beschleuniger zur Verfügung, um nach neuer Physik zu suchen, von denen der LHC der stärkste ist. Jetzt ist ein anderer Weg offen - das Studium der Gravitationswellen “, erklärt Vankhov.
Um beispielsweise die Seltsamkeiten der beobachteten Welt zu erklären, haben Wissenschaftler die Supersymmetrie-Hypothese eingeführt. Ihrer Meinung nach müssen die Elementarteilchen, die wir in Experimenten beobachten, Zwillinge in einem "anderen" Bereich unserer Welt haben. Eine der erwarteten Manifestationen dieser Zwillinge ist, dass die hellste von ihnen dunkle Materie bildet, das heißt, sie lebt um uns herum, ist aber für die Beobachtung unzugänglich.
„Um Supersymmetrie zu erkennen, muss man die Struktur von Partikeln besser verstehen, und dies erfordert noch mehr Beschleunigernergien. Wenn wir zum Beispiel bei Kollisionen von Protonen die Geburt supersymmetrischer Partner gewöhnlicher Teilchen sehen, dann existiert das, was wir tun, wirklich. Am CERN kollidiert der Beschleuniger derzeit mit maximaler Energie mit Teilchen, eine Supersymmetrie wurde jedoch noch nicht entdeckt. Die Grenze seiner Manifestation - Planck-Energie - liegt außerhalb unserer Reichweite “, sagt Ilmar Gahramanov, Leiter des Fachbereichs Mathematische Physik an der Staatlichen Universität der Schönen Künste Mimar Sinan (Istanbul, Türkei), Absolvent des MISiS.
Es muss jedoch Supersymmetrie geben, glaubt Gahramanov, da seine Idee, seine Mathematik, "sehr schön" ist.
„Formeln werden vereinfacht, einige Probleme verschwinden, viele Phänomene können durch diese Theorie erklärt werden. Wir wollen glauben, dass es existiert, da die Ideen der Supersymmetrie es uns ermöglichen, interessante Ergebnisse für andere Theorien zu erhalten, die experimentell überprüfbar sind. Das heißt, die darin entstehenden Methoden, Technologien und Mathematik werden auf andere Bereiche übertragen “, sagt der Wissenschaftler.
Reine Mathematik
Ein solcher Bereich, der sich dank der in der Stringtheorie formulierten Probleme entwickelt, ist die Theorie des Mondscheins.
"Moonshine" bedeutet auf Englisch Schlafwandeln und Wahnsinn ", sagt John Duncan von der Emory University (USA).
Aus Gründen der Klarheit zeigt er dem Publikum während seiner Rede ein Foto des blutroten Mondes über der Akropolis, das während des Supermonds am 31. Januar aufgenommen wurde. Duncan wurde in Neuseeland ausgebildet und kam dann in die USA, um dort zu promovieren. Nachdem sich Igor Frenkel, ein ehemaliger sowjetischer Mathematiker, dort getroffen hatte, entschied er sich für die Munshine-Theorie (übersetzt ins Russische als "Unsinnstheorie"), die Brücken zwischen dem "Monster" - der größten endlichen außergewöhnlichen Gruppe von Symmetrien - und anderen mathematischen Objekten schlug: automorphen Formen, algebraischen Kurven und Scheitelpunktalgebren.
„Aus der Stringtheorie gingen sehr tiefe mathematische Ideen hervor, die die Geometrie veränderten, die Theorie der Lie-Algebren, die Theorie der automorphen Formen. Das philosophische Konzept begann sich zu ändern: Was ist Raum, was ist Vielfalt. Neue Arten von Geometrien, neue Invarianten erschienen. Die theoretische Physik bereichert die Mathematik mit neuen Ideen. Wir beginnen daran zu arbeiten und geben sie dann an die Physiker zurück. Tatsächlich wird die Mathematik jetzt wieder aufgebaut, wie es bereits in den 20-30er Jahren des 20. Jahrhunderts nach der Entwicklung der Quantenmechanik geschehen ist, als klar wurde, dass es andere Strukturen in der Mathematik gibt, die zuvor noch nicht gesehen wurden , sagt Valery Gritsenko, Professor an der Universität von Lille (Frankreich)) und HSE.
Gritsenko beschäftigt sich mit reiner Mathematik, aber seine Ergebnisse werden von Physikern nachgefragt. Eine seiner größten Errungenschaften, die er gemeinsam mit dem Mathematiker Vyacheslav Nikulin erzielt hat, ist die Klassifizierung von unendlichdimensionalen automorphen hyperbolischen Kats-Moody-Algebren, die in der Stringtheorie Anwendung gefunden hat. Der Beschreibung einer speziellen hyperbolischen Kats-Moody-Algebra vom Typ E10, die behauptet, der Vereiniger aller physikalischen Symmetrien der Natur zu sein, widmete Herman Nicolai seinen Vortrag.
Trotz des Fehlens experimenteller Manifestationen von Stringtheorie, Supersymmetrie und Quantengravitation verwerfen Wissenschaftler diese Konzepte nicht nur nicht, sondern entwickeln sie im Gegenteil aktiv weiter. Also "Kein Geometer, lass ihn nicht eintreten!" - Das Motto der Platonischen Akademie, das vor zweieinhalb Jahrtausenden formuliert wurde, ist in unserer Zeit für die theoretische Physik am relevantesten.
Tatiana Pichugina
