Egal, ob Sie planen, wie schnell Sie Ihre Kaffeemaschine füllen können oder einfach Ihre Schritte zur Bushaltestelle am Morgen zählen, die Monotonie des Alltags lässt uns versuchen, daraus ein Spiel zu machen. Die Bewohner der preußischen Stadt Königsberg im 18. Jahrhundert (jetzt, wie Sie wissen, ist dies Kaliningrad) waren die gleichen wie wir alle. Es war nur das Spiel, das sie mit sieben Brücken in ihrer Stadt spielten, das eines Tages das Interesse eines der größten Mathematiker der Menschheitsgeschichte weckte.
Königsberg wurde am Ufer des Flusses Pregel (Pregolya) erbaut, der die Stadt in vier separate Wohngebiete aufteilte. Die Menschen zogen durch sieben verschiedene Brücken von einem Gebiet in ein anderes. Der Legende nach war es ein beliebter Zeitvertreib bei Sonntagswanderungen, die ganze Stadt zu durchqueren, um jede Brücke nur einmal zu überqueren. Niemand hat herausgefunden, wie das geht, aber das bedeutet nicht, dass das Problem keine Lösung hat. Sie mussten nur zum richtigen Experten gehen, um ihn kennenzulernen.
1735 schrieb der Bürgermeister der Stadt Danzig (heute polnisches Danzig), 120 Kilometer westlich von Königsberg, Karl Leonard Gottlieb Ehler, an Leonard Euler mit einem Brief, in dem er im Auftrag eines örtlichen Mathematikprofessors namens Heinrich um Hilfe bei der Lösung dieses Problems bat Kühn. Schon damals war Euler ein berühmter und sehr erfolgreicher Mathematiker - er veröffentlichte sein erstes Buch innerhalb eines Jahres nach diesem Brief und schrieb in seinem ganzen Leben mehr als 500 Bücher und Artikel.
Daher ist es nicht verwunderlich, dass Euler zunächst dachte, es liege unter seiner Würde, sich mit diesem Problem zu befassen, und schrieb als Antwort: „Sie sehen also, sehr geehrter Herr, diese Art von Lösung hat praktisch keine Beziehung zur Mathematik, und ich verstehe nicht, warum Sie sich mit solchen befassen eine Anfrage an einen Mathematiker und nicht an jemand anderen, da die Entscheidung nur auf gesundem Menschenverstand beruht und nicht von einem der bekannten mathematischen Prinzipien abhängt."
Am Ende gelang es Ehler und Kühn jedoch, Euler zu überzeugen, und er erkannte, dass dies eine völlig neue Art der Mathematik war - die "Geometrie der Positionen", die heute als Topologie bekannt ist. In der Topologie spielt die genaue Form oder Position eines Objekts keine Rolle. Es gibt sogar einen alten Witz, dass ein Topologe den Unterschied zwischen einem Donut und einer Kaffeetasse nicht erkennen kann, da beide Gegenstände genau ein Loch haben. Bis dahin wurde nur über dieses völlig neue Gebiet der Mathematik geschrieben, aber noch niemand verstand, welche Probleme es lösen konnte. Die sieben Königsbergbrücken waren eine hervorragende experimentelle Bestätigung der neuen Theorie, da für das Problem keine Messungen oder genauen Berechnungen erforderlich waren. Sie können einen komplexen Stadtplan in ein einfaches und verständliches Diagramm umwandeln, ohne wichtige Informationen zu verlieren.
Während man versucht sein könnte, dieses Problem zu lösen, indem man alle möglichen Routen durch die Stadt kartiert, erkannte Euler sofort, dass diese Strategie zu lange dauern und nicht mit anderen ähnlichen Problemen funktionieren würde (was wäre, wenn es in einer anderen Stadt beispielsweise zwölf gäbe? Brücken?). Stattdessen entschloss er sich, sich vorübergehend von den Brücken abzulenken und markierte die Landflächen mit den Buchstaben A, B, C und D. So konnte er nun die Reise über die Brücke von Gebiet A nach Gebiet B als AB und die Reise von Gebiet A durch Gebiet B beschreiben D als ABD. Hierbei ist zu beachten, dass die Anzahl der Buchstaben in der Routenbeschreibung immer eins mehr ist als die Anzahl der überquerten Brücken. Somit überquert die Route AB eine Brücke und die Route ABD zwei Brücken und so weiter. Euler erkannte, dass es in Königsberg sieben Brücken gibt, um sie alle zu überqueren,Die Route muss aus acht Buchstaben bestehen, was bedeutet, dass für die Lösung des Problems genau acht Buchstaben erforderlich sind.
Dann entwickelte er eine allgemeinere Regel, die ein noch vereinfachtes Schema verwendete. Wenn Sie nur zwei Landabschnitte, A und B, hätten und die Brücke einmal überquert hätten, könnte Abschnitt A dort sein, wo die Reise begann oder wo sie endete, aber Sie wären nur einmal in Abschnitt A. Wenn Sie die Brücken a, b und c einmal überqueren würden, wären Sie genau zweimal auf Abschnitt A. Dies führte zu einer praktischen Regel: Wenn Sie eine gerade Anzahl von Brücken haben, die zu einem Stück Land führen, müssen Sie eine zu dieser Anzahl hinzufügen und dann die Summe durch zwei teilen, um herauszufinden, wie oft dieser Abschnitt während Ihrer Reise verwendet werden sollte. (In diesem Beispiel erhalten wir vier, wenn wir eins zur Anzahl der Brücken addieren, dh drei, und wenn wir vier durch zwei teilen, erhalten wir zwei. Das heißt, es ist genau zweimal während der Fahrt, dass Abschnitt A) überquert wird.
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Dieses Ergebnis brachte Euler zu seinem ursprünglichen Problem zurück. Es gibt fünf Brücken, die zu Abschnitt A führen, daher muss die von ihm gesuchte Lösung mit acht Buchstaben dreimal gekreuzt werden. Die Abschnitte B, C und D haben zwei Brücken, die zu ihnen führen, sodass jede zweimal überquert werden muss. Aber 3 + 2 + 2 + 2 ist 9, nicht 8, obwohl Sie je nach Bedingung nur 8 Abschnitte durchlaufen und 7 Brücken überqueren müssen. Dies bedeutet, dass es unmöglich ist, mit jeder Brücke genau einmal durch die gesamte Stadt Königsberg zu fahren. Mit anderen Worten, in diesem Fall hat das Problem keine Lösung.
Wie jeder echte Mathematiker hörte Euler hier jedoch nicht auf. Er arbeitete weiter und schuf eine allgemeinere Regel für andere Städte mit einer anderen Anzahl von Brücken. Wenn die Stadt eine ungerade Anzahl von Brücken hat, gibt es eine einfache Möglichkeit, herauszufinden, ob Sie eine solche Reise unternehmen können oder nicht: Wenn die Summe der Vorkommen jedes Buchstabens, der ein Stück Land bezeichnet, eins mehr ist als die Anzahl der Brücken (wie zum Beispiel in der Acht-Buchstaben-Lösung ungefähr) bereits erwähnt) ist eine solche Reise möglich. Wenn die Summe größer als diese Zahl ist, ist dies unmöglich.
Was ist mit einer geraden Anzahl von Brücken? In diesem Fall hängt alles davon ab, wo Sie anfangen sollen. Wenn Sie in Abschnitt A beginnen und über zwei Brücken fahren, wird A in Ihrer Lösung zweimal angezeigt. Wenn Sie auf der anderen Seite beginnen, wird A nur einmal angezeigt. Wenn es vier Brücken gibt, erscheint A dreimal, wenn dieser Abschnitt der Ausgangspunkt war, oder zweimal, wenn dies nicht der Fall war. Im Allgemeinen bedeutet dies, dass die Reise, wenn sie nicht in Abschnitt A beginnt, doppelt so oft überquert werden muss wie die Anzahl der Brücken (vier geteilt durch zwei ergeben zwei). Wenn die Reise von Abschnitt A beginnt, muss sie sich noch einmal kreuzen.
Das Genie von Eulers Lösung liegt nicht einmal in der Antwort, sondern in der von ihm angewandten Methode. Es war einer der frühesten Anwendungsfälle der Graphentheorie, auch als Netzwerktheorie bekannt, ein begehrtes Gebiet der Mathematik in der heutigen Welt voller Transport-, sozialer und elektronischer Netze. Was Königsberg betrifft, so endete die Stadt mit einer weiteren Brücke, die Eulers Entscheidung umstritten machte, und dann zerstörten britische Truppen während des Zweiten Weltkriegs den größten Teil der Stadt. Heute haben sowohl die Stadt als auch der Fluss neue Namen, aber das alte Problem lebt in einem völlig neuen Bereich der Mathematik.
Igor Abramov