Eine weitere Reihe von Paradoxien und Gedankenexperimenten
Diese Sammlung benötigt viel weniger Zeit zum Lesen als zum Nachdenken über die darin vorgestellten Paradoxien. Einige der Probleme sind nur auf den ersten Blick widersprüchlich, andere scheinen selbst nach Hunderten von Jahren intensiver geistiger Arbeit der größten Mathematiker, Philosophen und Ökonomen unlösbar. Wer weiß, vielleicht sind Sie es, die in der Lage sind, eine Lösung für eines dieser Probleme zu formulieren, das wie gesagt zum Lehrbuch wird und in allen Lehrbüchern enthalten sein wird.
1. Das Paradox des Wertes
Das Phänomen, auch bekannt als Diamant- und Wasserparadoxon oder Smith-Paradoxon (benannt nach Adam Smith, dem klassischen Ökonomen, von dem angenommen wird, dass er als erster dieses Paradoxon formuliert), ist, dass Wasser als Ressource zwar viel nützlicher ist als Kristallstücke Kohlenstoff, den wir Diamanten nennen, dessen Preis auf dem internationalen Markt unvergleichlich höher ist als die Kosten für Wasser.
Adam Smith
Unter dem Gesichtspunkt des Überlebens braucht die Menschheit wirklich viel mehr Wasser als Diamanten, aber ihre Reserven sind natürlich mehr als die von Diamanten. Experten sagen, dass der Preisunterschied nichts Seltsames ist - schließlich sprechen wir über die Kosten pro Einheit jeder Ressource, und dies wird weitgehend davon bestimmt ein Faktor wie Grenznutzen.
Mit einem kontinuierlichen Verbrauch einer Ressource, ihrem Grenznutzen und infolgedessen sinken die Kosten unweigerlich - dieses Muster wurde im 19. Jahrhundert vom preußischen Ökonomen Hermann Heinrich Gossen entdeckt. In einfachen Worten, wenn einer Person konsequent drei Gläser Wasser angeboten werden, wird sie das erste trinken, das Wasser vom zweiten waschen und das dritte wird zu Boden gehen.
Werbevideo:
Der Großteil der Menschheit hat keinen akuten Wasserbedarf - um genug davon zu bekommen, muss man nur den Wasserhahn aufdrehen, aber nicht jeder hat Diamanten, weshalb sie so teuer sind.
2. Das Paradox des ermordeten Großvaters
Dieses Paradoxon wurde 1943 vom französischen Science-Fiction-Schriftsteller Rene Barzhavel in seinem Buch The Careless Traveller (Original Le Voyageur Imprudent) vorgeschlagen.
Rene Barzhavel
Angenommen, Sie haben es geschafft, eine Zeitmaschine zu erfinden, und sind damit in die Vergangenheit gegangen. Was passiert, wenn Sie Ihren Großvater dort treffen und ihn töten, bevor er Ihre Großmutter trifft? Wahrscheinlich wird dieses blutrünstige Szenario nicht jedem gefallen. Nehmen wir also an, Sie verhindern das Treffen auf andere Weise, indem Sie ihn beispielsweise ans andere Ende der Welt bringen, wo er nie von seiner Existenz erfahren wird. Das Paradoxon verschwindet nicht daraus.
Wenn das Treffen nicht stattfindet, wird Ihre Mutter oder Ihr Vater nicht geboren, kann Sie nicht empfangen, und dementsprechend werden Sie keine Zeitmaschine erfinden und in die Vergangenheit reisen, sodass der Großvater die Großmutter ungehindert heiraten kann, sie einen Ihrer Eltern haben und so weiter. - Das Paradoxon ist offensichtlich.
Die Geschichte des in der Vergangenheit getöteten Großvaters wird von Wissenschaftlern oft als Beweis für die grundsätzliche Unmöglichkeit von Zeitreisen angeführt, aber einige Experten sagen, dass das Paradoxon unter bestimmten Bedingungen durchaus lösbar ist. Wenn der Zeitreisende beispielsweise seinen Großvater tötet, schafft er eine alternative Version der Realität, in der er niemals geboren wird.
Darüber hinaus schlagen viele vor, dass ein Mensch, selbst wenn er in die Vergangenheit gefallen ist, ihn nicht beeinflussen kann, da dies zu einer Veränderung in der Zukunft führen wird, zu der er gehört. Zum Beispiel ist ein Versuch, einen Großvater zu ermorden, absichtlich zum Scheitern verurteilt - schließlich hat sein Großvater, wenn der Enkel existiert, den Attentat auf die eine oder andere Weise überlebt.
3. Versenden Sie Theseus
Der Name des Paradoxons wurde von einem der griechischen Mythen gegeben, der die Heldentaten des legendären Theseus, eines der athenischen Könige, beschreibt. Der Legende nach behielten die Athener das Schiff, auf dem Theseus von der Insel Kreta nach Athen zurückkehrte, mehrere hundert Jahre lang. Natürlich verschlechterte sich das Schiff allmählich und die Zimmerleute ersetzten die morschen Bretter durch neue, so dass kein Stück altes Holz darin zurückblieb. Die besten Köpfe der Welt, darunter prominente Philosophen wie Thomas Hobbes und John Locke, haben jahrhundertelang darüber nachgedacht, ob diese als auf diesem Schiff befindlich angesehen werden könnten.
Das Wesen des Paradoxons lautet also wie folgt: Wenn Sie alle Teile des Objekts durch neue ersetzen, kann es dasselbe Objekt sein? Außerdem stellt sich die Frage: Wenn Sie genau das gleiche Objekt aus den alten Teilen zusammensetzen, welches der beiden wird "das gleiche" sein? Vertreter verschiedener philosophischer Schulen gaben direkt entgegengesetzte Antworten auf diese Fragen, aber es gibt immer noch einige Widersprüche in möglichen Lösungen für Theseus 'Paradoxon.
Wenn wir bedenken, dass die Zellen unseres Körpers alle sieben Jahre fast vollständig erneuert werden, können wir dann davon ausgehen, dass wir im Spiegel dieselbe Person sehen wie vor sieben Jahren?
4. Galileos Paradoxon
Das von Galileo Galilei entdeckte Phänomen zeigt die widersprüchlichen Eigenschaften unendlicher Mengen. Eine kurze Formulierung des Paradoxons lautet wie folgt: Es gibt so viele natürliche Zahlen wie Quadrate, dh die Anzahl der Elemente einer unendlichen Menge 1, 2, 3, 4 … ist gleich der Anzahl der Elemente einer unendlichen Menge 1, 4, 9, 16 …
Auf den ersten Blick gibt es hier keinen Widerspruch, aber derselbe Galileo in seiner Arbeit "Two Sciences" behauptet: Einige Zahlen sind exakte Quadrate (dh Sie können eine ganze Quadratwurzel daraus extrahieren), während andere daher keine exakten Quadrate zusammen mit gewöhnlichen Zahlen sind Es muss mehr als ein genaues Quadrat geben. Inzwischen gibt es früher in "Sciences" ein Postulat, dass es so viele Quadrate natürlicher Zahlen gibt, wie es natürliche Zahlen selbst gibt, und diese beiden Aussagen stehen sich direkt gegenüber.
Galileo selbst glaubte, dass das Paradoxon nur in Bezug auf endliche Mengen gelöst werden kann, aber Georg Cantor, einer der deutschen Mathematiker des 19. Jahrhunderts, entwickelte seine eigene Mengenlehre, nach der Galileos zweites Postulat (ungefähr die gleiche Anzahl von Elementen) auch für unendliche Mengen gilt. Zu diesem Zweck führte Cantor das Konzept der Kardinalität ein, das in den Berechnungen für beide unendlichen Mengen zusammenfiel.
5. Das Paradox der Genügsamkeit
Die berühmteste Formulierung eines merkwürdigen wirtschaftlichen Phänomens, das von Waddill Ketchings und William Foster beschrieben wurde, lautet: "Je mehr wir für einen regnerischen Tag sparen, desto eher wird es kommen." Um das Wesen des in diesem Phänomen enthaltenen Widerspruchs zu verstehen, eine kleine ökonomische Theorie.
William Foster
Wenn während eines wirtschaftlichen Abschwungs ein großer Teil der Bevölkerung beginnt, ihre Ersparnisse zu sparen, sinkt die Gesamtnachfrage nach Waren, was wiederum zu einem Rückgang der Einnahmen und infolgedessen zu einem Rückgang des Gesamteinsparungsniveaus und einer Verringerung der Ersparnisse führt. Einfach ausgedrückt, es gibt eine Art Teufelskreis, in dem Verbraucher weniger Geld ausgeben, aber dadurch ihr Wohlbefinden verschlechtern.
In gewisser Weise ähnelt das Paradox der Genügsamkeit dem Problem in der Spieltheorie, das als Gefangenendilemma bezeichnet wird: Handlungen, die für jeden Teilnehmer in einer individuellen Situation von Vorteil sind, sind für ihn insgesamt schädlich.
6. Das Pinocchio-Paradoxon
Dies ist eine Teilmenge des philosophischen Problems, das als Lügnerparadox bekannt ist. Dieses Paradoxon ist einfach in der Form, aber keineswegs inhaltlich. Es kann in drei Worten ausgedrückt werden: "Diese Aussage ist eine Lüge" oder sogar in zwei Worten - "Ich lüge". In der Version mit Pinocchio wird das Problem wie folgt formuliert: "Meine Nase wächst jetzt."
Ich denke, Sie verstehen den Widerspruch, der in dieser Aussage enthalten ist, aber für den Fall, lassen Sie uns alles darüber schreiben: Wenn der Satz richtig ist, wächst die Nase wirklich, aber dies bedeutet, dass im Moment die Idee von Papst Carlo lügt, was nicht sein kann wie wir bereits herausgefunden haben, dass die Aussage wahr ist. Dies bedeutet, dass die Nase nicht wachsen sollte, aber wenn dies nicht der Realität entspricht, ist die Aussage immer noch wahr, und dies zeigt wiederum, dass Pinocchio lügt … Und so weiter - die Kette sich gegenseitig ausschließender Ursachen und Wirkungen kann auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden.
Das Paradox des Lügners zeigt den Widerspruch zwischen der Aussage in der Umgangssprache und der formalen Logik. Aus Sicht der klassischen Logik ist das Problem unlösbar, so dass die Aussage "Ich lüge" überhaupt nicht als logisch angesehen wird.
7. Russells Paradoxon
Das Paradoxon, das sein Entdecker, der berühmte britische Philosoph und Mathematiker Bertrand Russell, streng genommen nichts anderes als das Friseurparadoxon nannte, kann als eine der Formen des Lügnerparadoxons angesehen werden.
Angenommen, Sie gehen an einem Friseur vorbei und sehen eine Anzeige darauf: „Rasieren Sie sich? Wenn nicht, können Sie sich gerne rasieren! Ich rasiere jeden, der sich nicht rasiert, und sonst niemanden! " Es ist natürlich, die Frage zu stellen: Wie geht ein Friseur mit seinen eigenen Stoppeln um, wenn er nur diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren? Wenn er selbst seinen eigenen Bart nicht rasiert, widerspricht dies seiner prahlerischen Aussage: "Ich rasiere alle, die sich nicht selbst rasieren."
Natürlich ist es am einfachsten anzunehmen, dass der engstirnige Friseur einfach nicht über den Widerspruch in seinem Schild nachgedacht und dieses Problem vergessen hat, aber der Versuch, sein Wesen zu verstehen, ist viel interessanter, obwohl dies einen kurzen Einstieg in die mathematische Mengenlehre erfordert.
Russells Paradoxon sieht folgendermaßen aus: „Sei K die Menge aller Mengen, die sich nicht als richtiges Element enthalten. Enthält sich K als eigenes Element? Wenn ja, widerlegt dies die Aussage, dass die Mengen in ihrer Zusammensetzung "sich nicht als geeignetes Element enthalten", wenn nicht, besteht ein Widerspruch zu der Tatsache, dass K die Menge aller Mengen ist, die sich nicht als geeignetes Element enthalten, und daher K enthalten muss alle möglichen Elemente, einschließlich Sie selbst."
Das Problem ergibt sich aus der Tatsache, dass Russell in seiner Argumentation das Konzept der "Menge aller Mengen" verwendete, das an sich eher widersprüchlich ist und sich an den Gesetzen der klassischen Logik orientiert, die nicht in allen Fällen anwendbar sind (siehe Absatz 6).
Die Entdeckung des Friseurparadoxons löste in verschiedenen wissenschaftlichen Kreisen heftige Debatten aus, die bis heute nicht abgeklungen sind. Um die Mengenlehre zu "retten", haben Mathematiker mehrere Axiomensysteme entwickelt, aber es gibt keine Beweise für die Konsistenz dieser Systeme, und nach Ansicht einiger Wissenschaftler kann dies nicht der Fall sein.
8. Das Geburtstagsparadoxon
Der Kern des Problems ist folgender: Wenn es eine Gruppe von 23 oder mehr Personen gibt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen denselben Geburtstag (Tag und Monat) haben, größer als 50%. Bei Gruppen ab 60 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit bei über 99%, erreicht sie jedoch nur dann bei 100%, wenn mindestens 367 Personen in der Gruppe sind (unter Berücksichtigung der Schaltjahre). Dies zeigt das Dirichlet-Prinzip, benannt nach seinem Entdecker, dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Dirichlet.
Peter Gustav Dirichl
Streng genommen widerspricht diese Aussage aus wissenschaftlicher Sicht nicht der Logik und ist daher kein Paradoxon, sondern zeigt perfekt den Unterschied zwischen den Ergebnissen eines intuitiven Ansatzes und mathematischen Berechnungen, da auf den ersten Blick für eine so kleine Gruppe die Wahrscheinlichkeit eines Zufalls stark überschätzt zu sein scheint.
Betrachtet man jedes Mitglied der Gruppe einzeln und schätzt die Wahrscheinlichkeit, dass sein Geburtstag mit dem eines anderen übereinstimmt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Person etwa 0,27%, sodass die Gesamtwahrscheinlichkeit für alle Mitglieder der Gruppe etwa 6,3% betragen sollte (23 / 365). Dies ist jedoch grundsätzlich falsch, da die Anzahl der möglichen Optionen für die Auswahl bestimmter Paare von 23 Personen viel höher ist als die Anzahl ihrer Mitglieder und (23 * 22) / 2 = 253 beträgt, basierend auf der Formel zur Berechnung der sogenannten Anzahl von Kombinationen aus einer bestimmten Menge. Wir werden uns nicht mit Kombinatorik befassen, Sie können die Richtigkeit dieser Berechnungen nach Belieben überprüfen.
Bei 253 Varianten von Paaren beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Monat und das Geburtsdatum der Teilnehmer eines von ihnen, wie Sie wahrscheinlich vermutet haben, gleich sind, viel mehr als 6,3%.
9. Das Problem von Huhn und Eiern
Sicherlich wurde jedem von Ihnen mindestens einmal in Ihrem Leben die Frage gestellt: "Was erschien zuerst - ein Huhn oder ein Ei?" In der Zoologie erfahrene kennen die Antwort: Vögel wurden aus Eiern geboren, lange bevor die Ordnung der Hühner unter ihnen auftauchte. Es ist erwähnenswert, dass es sich in der klassischen Formulierung nur um einen Vogel und ein Ei handelt, aber es ermöglicht auch eine einfache Lösung: Schließlich tauchten beispielsweise Dinosaurier vor Vögeln auf und sie vermehrten sich auch durch das Legen von Eiern.
Wenn wir all diese Feinheiten berücksichtigen, können wir das Problem wie folgt formulieren: Was früher erschien - das erste Tier, das Eier legt, oder sein eigenes Ei, weil von irgendwoher ein Vertreter einer neuen Art schlüpfen musste.
Das Hauptproblem besteht darin, einen kausalen Zusammenhang zwischen den Phänomenen des Fuzzy-Volumens herzustellen. Um dies besser zu verstehen, lesen Sie die Prinzipien der Fuzzy-Logik - Verallgemeinerungen der klassischen Logik und der Mengenlehre.
Einfach ausgedrückt ist die Tatsache, dass Tiere im Laufe der Evolution unzählige Zwischenstadien durchlaufen haben - dies gilt auch für Zuchtmethoden. In verschiedenen Evolutionsstadien legten sie verschiedene Objekte, die nicht eindeutig als Eier identifiziert werden können, aber einige Ähnlichkeiten mit ihnen aufweisen.
Wahrscheinlich gibt es keine objektive Lösung für dieses Problem, obwohl beispielsweise der britische Philosoph Herbert Spencer diese Option vorgeschlagen hat: "Das Huhn ist nur eine Art und Weise, wie ein Ei ein anderes Ei produziert."
10. Verschwinden der Zellen
Im Gegensatz zu den meisten anderen Paradoxien der Sammlung enthält dieses spielerische "Problem" keine Widersprüche, sondern dient dazu, die Beobachtung zu trainieren und Sie an die Grundgesetze der Geometrie zu erinnern.
Wenn Sie mit solchen Aufgaben vertraut sind, können Sie das Ansehen des Videos überspringen - es enthält seine Lösung. Wir empfehlen allen anderen, nicht, wie sie sagen, „bis zum Ende des Lehrbuchs“zu klettern, sondern darüber nachzudenken: Die Bereiche der mehrfarbigen Figuren sind absolut gleich, aber wenn sie neu angeordnet werden, „verschwindet“eine der Zellen (oder wird „unnötig“- abhängig von der Variante der Position der Figuren als initial betrachtet). Wie kann das sein?
Hinweis: Zunächst gibt es einen kleinen Trick in dem Problem, der seine "Paradoxizität" sicherstellt, und wenn Sie es finden, wird alles sofort zusammenfallen, obwohl die Zelle immer noch "verschwindet".
