Paradoxe gibt es überall, von Ökologie bis Geometrie und von Logik bis Chemie. Sogar der Computer, auf dem Sie den Artikel lesen, ist voller Paradoxien. Hier sind zehn Erklärungen für einige faszinierende Paradoxe. Einige von ihnen sind so seltsam, dass wir einfach nicht vollständig verstehen können, worum es geht.
1. Das Banach-Tarski-Paradoxon
Stellen Sie sich vor, Sie halten einen Ball in Ihren Händen. Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten begonnen, diesen Ball in Stücke zu reißen, und die Stücke können jede Form haben, die Sie mögen. Setzen Sie dann die Teile so zusammen, dass Sie zwei Kugeln anstelle von einer erhalten. Wie groß werden diese Bälle im Vergleich zum Originalball sein?
Gemäß der Mengenlehre haben die beiden resultierenden Kugeln die gleiche Größe und Form wie die ursprüngliche Kugel. Wenn wir in diesem Fall berücksichtigen, dass die Kugeln unterschiedliche Volumina haben, kann jede der Kugeln entsprechend der anderen transformiert werden. Dies lässt den Schluss zu, dass eine Erbse in Kugeln von der Größe der Sonne unterteilt werden kann.
Der Trick des Paradoxons ist, dass Sie die Kugeln in Stücke jeder Form zerbrechen können. In der Praxis ist dies nicht möglich - die Struktur des Materials und letztendlich die Größe der Atome unterliegen gewissen Einschränkungen.
Damit es wirklich möglich ist, den Ball so zu brechen, wie Sie es möchten, muss er eine unendliche Anzahl verfügbarer nulldimensionaler Punkte enthalten. Dann ist der Ball solcher Punkte unendlich dicht, und wenn Sie ihn brechen, können sich die Formen der Teile als so komplex herausstellen, dass sie kein bestimmtes Volumen haben. Und Sie können diese Teile, von denen jeder eine unendliche Anzahl von Punkten enthält, zu einem neuen Ball beliebiger Größe zusammenfassen. Der neue Ball wird immer noch aus unendlichen Punkten bestehen und beide Bälle werden gleich unendlich dicht sein.
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Wenn Sie versuchen, die Idee in die Praxis umzusetzen, funktioniert nichts. Bei der Arbeit mit mathematischen Sphären funktioniert jedoch alles hervorragend - unendlich teilbare Zahlensätze im dreidimensionalen Raum. Das gelöste Paradoxon heißt Banach-Tarski-Theorem und spielt eine große Rolle in der mathematischen Mengenlehre.
2. Das Peto-Paradoxon
Offensichtlich sind Wale viel größer als wir, was bedeutet, dass sie viel mehr Zellen in ihrem Körper haben. Und jede Zelle im Körper kann theoretisch bösartig werden. Daher entwickeln Wale viel häufiger Krebs als Menschen, oder?
Nicht so. Das Peto-Paradoxon, benannt nach dem Oxford-Professor Richard Peto, argumentiert, dass es keinen Zusammenhang zwischen Tiergröße und Krebs gibt. Menschen und Wale haben eine ähnliche Chance, an Krebs zu erkranken, aber einige Rassen winziger Mäuse sind viel wahrscheinlicher.
Einige Biologen glauben, dass die fehlende Korrelation im Peto-Paradoxon durch die Tatsache erklärt werden kann, dass größere Tiere Tumoren besser widerstehen können: Der Mechanismus funktioniert so, dass eine Zellmutation während des Teilungsprozesses verhindert wird.
3. Das Problem der Gegenwart
Damit etwas physisch existieren kann, muss es für einige Zeit in unserer Welt vorhanden sein. Es kann kein Objekt ohne Länge, Breite und Höhe geben, und es kann kein Objekt ohne "Dauer" geben - ein "sofortiges" Objekt, dh eines, das zumindest für eine gewisse Zeit nicht existiert, existiert überhaupt nicht.
Nach dem universellen Nihilismus nehmen Vergangenheit und Zukunft in der Gegenwart keine Zeit in Anspruch. Darüber hinaus ist es unmöglich, die Dauer zu quantifizieren, die wir "gegenwärtige Zeit" nennen: Jede Zeitspanne, die Sie "gegenwärtige Zeit" nennen, kann in Teile unterteilt werden - Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft.
Wenn die Gegenwart beispielsweise eine Sekunde dauert, kann diese Sekunde in drei Teile unterteilt werden: Der erste Teil wird die Vergangenheit sein, der zweite - die Gegenwart, der dritte - die Zukunft. Die dritte Sekunde, die wir jetzt die Gegenwart nennen, kann ebenfalls in drei Teile unterteilt werden. Sie haben wahrscheinlich schon die Idee - so können Sie endlos weitermachen.
Somit existiert die Gegenwart nicht wirklich, weil sie nicht durch die Zeit dauert. Der universelle Nihilismus verwendet dieses Argument, um zu beweisen, dass überhaupt nichts existiert.
4. Das Moravec-Paradoxon
Bei der Lösung von Problemen, die nachdenkliches Denken erfordern, haben die Menschen Schwierigkeiten. Auf der anderen Seite sind grundlegende motorische und sensorische Funktionen wie das Gehen überhaupt nicht schwierig.
Wenn wir jedoch über Computer sprechen, ist das Gegenteil der Fall: Es ist für Computer sehr einfach, die komplexesten logischen Probleme wie die Entwicklung einer Schachstrategie zu lösen, aber es ist viel schwieriger, einen Computer so zu programmieren, dass er laufen oder menschliche Sprache reproduzieren kann. Diese Unterscheidung zwischen natürlicher und künstlicher Intelligenz ist als Moravec-Paradoxon bekannt.
Hans Moravek, ein Forscher in der Robotikabteilung der Carnegie Mellon University, erklärt diese Beobachtung durch die Idee des Reverse Engineering unseres eigenen Gehirns. Reverse Engineering ist am schwierigsten für Aufgaben, die Menschen unbewusst ausführen, wie z. B. motorische Funktionen.
Da abstraktes Denken vor weniger als 100.000 Jahren Teil des menschlichen Verhaltens wurde, ist unsere Fähigkeit, abstrakte Probleme zu lösen, bewusst. Daher ist es für uns viel einfacher, Technologien zu entwickeln, die dieses Verhalten emulieren. Auf der anderen Seite verstehen wir solche Handlungen wie Gehen oder Sprechen nicht, so dass es für uns schwieriger ist, künstliche Intelligenz dazu zu bringen, dasselbe zu tun.
5. Benfords Gesetz
Wie groß ist die Chance, dass die Zufallszahl mit der Zahl "1" beginnt? Oder von der Nummer "3"? Oder mit "7"? Wenn Sie mit der Wahrscheinlichkeitstheorie ein wenig vertraut sind, können Sie davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit eins zu neun oder etwa 11% beträgt.
Wenn Sie sich die reellen Zahlen ansehen, werden Sie feststellen, dass "9" in weniger als 11% der Fälle viel seltener vorkommt. Es gibt auch weit weniger Ziffern als erwartet, beginnend mit "8", aber satte 30% der Zahlen, beginnend mit der Ziffer "1". Dieses paradoxe Bild manifestiert sich in allen möglichen realen Fällen, von der Bevölkerungsgröße über Aktienkurse bis hin zu Flusslängen.
Der Physiker Frank Benford bemerkte dieses Phänomen erstmals 1938. Er fand heraus, dass die Häufigkeit des Auftretens einer Ziffer als erste mit zunehmender Ziffer von eins auf neun abnimmt. Das heißt, "1" erscheint in ungefähr 30,1% der Fälle als erste Ziffer, "2" erscheint in ungefähr 17,6% der Fälle, "3" erscheint in ungefähr 12,5% und so weiter, bis "9" in erscheint als erste Ziffer in nur 4,6% der Fälle.
Um dies zu verstehen, stellen Sie sich vor, Sie nummerieren Lottoscheine nacheinander. Wenn Sie Tickets von eins bis neun nummeriert haben, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 11,1%, dass eine Nummer an erster Stelle steht. Wenn Sie Ticket Nr. 10 hinzufügen, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallszahl mit "1" beginnt, auf 18,2%. Sie fügen die Tickets Nr. 11 bis Nr. 19 hinzu, und die Wahrscheinlichkeit, dass die Ticketnummer mit „1“beginnt, steigt weiter und erreicht ein Maximum von 58%. Jetzt fügen Sie Ticket Nummer 20 hinzu und nummerieren die Tickets weiter. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl bei "2" beginnt, steigt und die Wahrscheinlichkeit, dass sie bei "1" beginnt, nimmt langsam ab.
Das Benfordsche Gesetz gilt nicht für alle Zahlenverteilungen. Beispielsweise fallen Zahlenmengen, deren Reichweite begrenzt ist (Größe oder Gewicht des Menschen), nicht unter das Gesetz. Es funktioniert auch nicht mit Sets, die nur eine oder zwei Ordnungen haben.
Das Gesetz deckt jedoch viele Arten von Daten ab. Infolgedessen können die Behörden das Gesetz zur Aufdeckung von Betrug verwenden: Wenn die bereitgestellten Informationen nicht dem Gesetz von Benford entsprechen, können die Behörden zu dem Schluss kommen, dass jemand die Daten erfunden hat.
6. C-Paradoxon
Gene enthalten alle Informationen, die zur Schaffung und zum Überleben eines Organismus benötigt werden. Es versteht sich von selbst, dass komplexe Organismen die komplexesten Genome haben müssen, aber das ist nicht wahr.
Einzellige Amöben haben ein Genom, das 100-mal größer ist als das des Menschen. Tatsächlich haben sie einige der größten bekannten Genome. Und bei Arten, die einander sehr ähnlich sind, kann das Genom radikal unterschiedlich sein. Diese Kuriosität ist als C-Paradox bekannt.
Eine interessante Erkenntnis aus dem C-Paradoxon ist, dass das Genom möglicherweise größer als nötig ist. Wenn alle Genome in der menschlichen DNA verwendet würden, wäre die Anzahl der Mutationen pro Generation unglaublich hoch.
Das Genom vieler komplexer Tiere wie Menschen und Primaten enthält DNA, die nichts codiert. Diese enorme Menge an nicht verwendeter DNA, die von Kreatur zu Kreatur sehr unterschiedlich ist, scheint unabhängig von allem zu sein, was das C-Paradoxon erzeugt.
7. Eine unsterbliche Ameise an einem Seil
Stellen Sie sich eine Ameise vor, die mit einer Geschwindigkeit von einem Zentimeter pro Sekunde an einem ein Meter langen Gummiseil entlangkrabbelt. Stellen Sie sich auch vor, dass sich das Seil jede Sekunde um einen Kilometer erstreckt. Wird die Ameise es jemals bis zum Ende schaffen?
Es scheint logisch, dass eine normale Ameise dazu nicht in der Lage ist, da die Geschwindigkeit ihrer Bewegung viel geringer ist als die Geschwindigkeit, mit der sich das Seil dehnt. Die Ameise wird jedoch irgendwann das andere Ende erreichen.
Bevor sich die Ameise überhaupt zu bewegen beginnt, liegt 100% des Seils davor. Eine Sekunde später wurde das Seil viel größer, aber die Ameise legte auch eine Strecke zurück, und wenn Sie in Prozent zählen, hat sich die Entfernung, die sie zurücklegen muss, verringert - sie beträgt bereits weniger als 100%, wenn auch nicht viel.
Obwohl das Seil ständig gedehnt wird, wird auch die kleine Strecke, die die Ameise zurücklegt, größer. Und während sich das gesamte Seil mit konstanter Geschwindigkeit verlängert, wird der Weg der Ameise mit jeder Sekunde etwas kürzer. Die Ameise bewegt sich auch die ganze Zeit mit konstanter Geschwindigkeit vorwärts. Mit jeder Sekunde nimmt die Strecke, die er bereits zurückgelegt hat, zu und die Strecke, die er zurücklegen muss, ab. In Prozent natürlich.
Es gibt eine Bedingung für eine Lösung des Problems: Die Ameise muss unsterblich sein. Die Ameise erreicht also das Ende in 2,8 × 1043,429 Sekunden, was etwas länger ist als das Universum existiert.
8. Das Paradox des ökologischen Gleichgewichts
Das Raubtier-Beutemodell ist eine Gleichung, die die reale ökologische Situation beschreibt. Das Modell kann beispielsweise bestimmen, um wie viel sich die Anzahl der Füchse und Kaninchen im Wald ändert. Nehmen wir an, das Gras, das Kaninchen fressen, wächst im Wald. Es kann davon ausgegangen werden, dass ein solches Ergebnis für Kaninchen günstig ist, da sie sich mit viel Gras gut vermehren und ihre Anzahl erhöhen.
Das Paradoxon des ökologischen Gleichgewichts besagt, dass dies nicht der Fall ist: Zunächst wird die Anzahl der Kaninchen tatsächlich zunehmen, aber eine Zunahme der Kaninchenpopulation in einer geschlossenen Umgebung (Wald) wird zu einer Zunahme der Fuchspopulation führen. Dann wird die Anzahl der Raubtiere so stark zunehmen, dass sie zuerst die gesamte Beute zerstören und dann selbst aussterben.
In der Praxis funktioniert dieses Paradoxon für die meisten Tierarten nicht - schon allein deshalb, weil sie nicht in einer geschlossenen Umgebung leben, sodass die Tierpopulationen stabil sind. Darüber hinaus können sich Tiere weiterentwickeln: Beispielsweise wird Beute unter neuen Bedingungen neue Abwehrmechanismen haben.
9. Das Molchparadoxon
Sammeln Sie eine Gruppe von Freunden und schauen Sie sich dieses Video gemeinsam an. Wenn Sie fertig sind, lassen Sie jeden seine Meinung sagen, ob der Klang während aller vier Töne zunimmt oder abnimmt. Sie werden überrascht sein, wie unterschiedlich die Antworten sein werden.
Um dieses Paradoxon zu verstehen, müssen Sie ein oder zwei Dinge über Noten wissen. Jede Note hat eine bestimmte Tonhöhe, die bestimmt, ob wir einen hohen oder niedrigen Klang hören. Die Note der nächsthöheren Oktave klingt doppelt so hoch wie die Note der vorherigen Oktave. Und jede Oktave kann in zwei gleiche Tritonintervalle unterteilt werden.
Im Video trennt der Molch jedes Tonpaar. In jedem Paar ist ein Klang eine Mischung aus denselben Noten aus verschiedenen Oktaven - zum Beispiel eine Kombination aus zwei Noten C, wobei eine höher klingt als die andere. Wenn ein Ton in einem Tritonus von einer Note zur nächsten wechselt (z. B. ein Gis zwischen zwei Cs), ist es durchaus sinnvoll, die Note als höher oder niedriger als die vorherige zu interpretieren.
Eine weitere paradoxe Eigenschaft von Molchen ist das Gefühl, dass der Klang ständig leiser wird, obwohl sich die Tonhöhe nicht ändert. In unserem Video können Sie den Effekt bis zu zehn Minuten lang beobachten.
10. Der Mpemba-Effekt
Bevor Sie zwei Gläser Wasser sind, genau das gleiche in allem außer einem: Die Wassertemperatur im linken Glas ist höher als im rechten. Stellen Sie beide Gläser in den Gefrierschrank. In welchem Glas gefriert das Wasser schneller? Sie können rechts entscheiden, dass das Wasser anfangs kälter war, aber heißes Wasser bei Raumtemperatur schneller gefriert als Wasser.
Dieser seltsame Effekt ist nach einem tansanischen Studenten benannt, der ihn 1986 beobachtete, als er Milch für die Herstellung von Eiscreme einfrierte. Einige der größten Denker - Aristoteles, Francis Bacon und René Descartes - haben dieses Phänomen bereits bemerkt, konnten es aber nicht erklären. Aristoteles stellte beispielsweise die Hypothese auf, dass eine Qualität in einer Umgebung verbessert wird, die dieser Qualität entgegengesetzt ist.
Der Mpemba-Effekt ist aufgrund mehrerer Faktoren möglich. In einem Glas heißem Wasser befindet sich möglicherweise weniger Wasser, da ein Teil davon verdunstet und daher weniger Wasser gefrieren sollte. Außerdem enthält heißes Wasser weniger Gas, was bedeutet, dass Konvektionsströme in diesem Wasser leichter auftreten und daher leichter gefrieren können.
Eine andere Theorie besagt, dass die chemischen Bindungen, die Wassermoleküle zusammenhalten, geschwächt sind. Ein Wassermolekül besteht aus zwei Wasserstoffatomen, die an ein Sauerstoffatom gebunden sind. Wenn sich das Wasser erwärmt, bewegen sich die Moleküle leicht voneinander weg, die Bindung zwischen ihnen schwächt sich ab und die Moleküle verlieren ein wenig Energie - dadurch kann heißes Wasser schneller abkühlen als kaltes Wasser.
